一道初二几何求解

一道初二几何求解

解：过P作PM∥BQ，交QC于M

因为∠BAC=60°，∠ACB=40°

所以，∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=80°(三角形内角和定理)

因为AP平分∠BAC，BQ平分∠ABC

所以，

∠BAP=∠MAP=0.5∠BAC=30°

∠QBC=0.5∠ABC=40°

所以，∠APB=180°-∠BAP-∠ABC=70°(三角形内角和定理)

因为PM∥BQ

所以，∠MPC=∠QBC=40°(两直线平行，同位角相等)

所以，∠APM=180°-∠APB-∠MPC=70°(平角定义)

所以，∠APB=∠APM(等量代换)

在△APB和△APM中，

∠BAP=∠MAP(已证)，AP=AP(公共边)，∠APB=∠APM(已证)

所以，△APB≌△APM(ASA)

所以，AB=AM，BP=MP(全等三角形的对应边相等)

因为∠MPC=∠MCP=40°

所以，MP=MC(等角对等边)

所以，AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC

因为∠QBC=∠QCB=40°

所以，BQ=CQ(等角对等边)

所以，BQ+AQ=CQ+AQ=AC

所以，BQ+AQ=AB+BP(等量代换)

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