如图抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0）C（0,4）两点与x轴交于另一点b

如图抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0）C（0,4）两点与x轴交于另一点b
①求抛物线解析式
②已知D（M,M+1）在第一象限的抛物线上，求点d关于直线bc对称点的坐标
③在②条件下，连接bd，点p为抛物线上一点，且角DBP=45°求点p坐标

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这是图

①∵抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0）C（0,4）
∴把A点坐标代入抛物线方程得关于a、b的方程组：
a-b-4a=0
-4a=4
解得：a=-1，b=3
∴抛物线解析式为y=-x²+3x+4
②∵D（M,M+1）在第一象限的抛物线上
∴M+1=-M²+3M+4（M>0）
解得M=3 ∴D(3，4)
∵抛物线与x轴交于另一点B
∴B（4，0）∴直线BC方程：y=-x+4
∴点D关于直线BC对称点的坐标：（0，1）
③∴直线BD方程：y=-4x+16
∴由图：直线BD的倾斜角为π-arctan4
∴BP直线的倾斜角为：3/4π-arctan4
∴BP直线的方程为：y=5x/3-20/3
∴P（-8/3，-100/9）

经过C（0，4） a=-1 经过A（-1，0） 0=a-b-4a b=-3a=3 抛物线的解析式 y=-x^2+3x+4 另一点B(4,0) 点D（m,m+1)在第一象限的抛物线上 m+1=-m^2+3m+4 m^2-2m-3=0 m=-1 (舍去) m=3 点D(3,4) 过D垂直BC的直线方程 y-4=x-3 BC的方程 y=4-x 垂足E(3/2,5/2) 点D关于直线BC的对称的点的坐标(X,Y) x+3=3 x=0 y+4=5 y=1 对称的点的坐标(0,1) DB的斜率=-4 设PB的斜率k (k+4)/(1-4k)=tan45=1 k=-3/5 PB的方程 y=-3(x-4)/5 带入y=-x^2+3x+4 5x^2-18x-8=0 (x-4)(5x+2)=0 x=4 （B点） x=-2/5 y=66/25 点P的坐标 (-2/5,66/25)

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点， ∴ a-b-4a=0 -4a=4 ， 解得 a=-1 b=3 ， ∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4； （2）∵点D（m，m+1）在抛物线上， ∴m+1=-m2+3m+4， 即m2-2m-3=0 ∴m=-1或m=3 ∵点D在第一象限 ∴点D的坐标为（3，4） 由（1）知OC=OB ∴∠CBA=45° 设点D关于直线BC的对称点为点E ∵C（0，4） ∴CD∥AB，且CD=3 ∴∠ECB=∠DCB=45° ∴E点在y轴上，且CE=CD=3 ∴OE=1 ∴E（0，1） 即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）； （3）方法一：作PF⊥AB于F，DE⊥BC于E， 由（1）有：OB=OC=4 ∴∠OBC=45° ∵∠DBP=45° ∴∠CBD=∠PBA ∵C（0，4），D（3，4） ∴CD∥OB且CD=3 ∴∠DCE=∠CBO=45° ∴DE=CE=3 2 2 ∵OB=OC=4 ∴BC=4 2 ∴BE=BC-CE=5 2 2 ∴tan∠PBF=tan∠CBD=DE BE =3 5 设PF=3t，则BF=5t，OF=5t-4 ∴P（-5t+4，3t） ∵P点在抛物线上 ∴3t=-（-5t+4）2+3（-5t+4）+4 ∴t=0（舍去）或t=22 25 ∴P（-2 5 ，66 25 ）； 方法二：过点D作BD的垂线交直线PB于点Q，过点D作DH⊥x轴于H，过Q点作QG⊥DH于G， ∵∠PBD=45° ∴QD=DB ∴∠QDG+∠BDH=90° 又∵∠DQG+∠QDG=90° ∴∠DQG=∠BDH ∴△QDG≌△DBH ∴QG=DH=4，DG=BH=1 由（2）知D（3，4） ∴Q（-1，3） ∵B（4，0） ∴直线BP的解析式为y=-3 5 x+12 5 解方程组 y=-x2+3x+4 y=-3 5 x+12 5 得 x1=4 y1=0 x2=-2 5 y2=66 25 ∴点P的坐标为（-2 5 ，66 25 ）．

1

代入ac点坐标可得a=﹣1   b=3    ∴y=﹣x²+3x+4

2

令y=0得b（4，0）    bc:：y=4-x

d在抛物线上，且m＞0   所以d（3，4）

∴对称点（0，1）

3

根据夹角公式知bp直线斜率为﹣3/5

所以bp：3x+5y-12=0

联立抛物线得p（﹣2/5，66/25）

（1）把A点坐标代入抛物线得到y=-x²+3x+4； （2）D（m,m+1）代入y=-x²+3x+4得到m=3（负值舍去），得D（3,4） BC斜率为-1，又CD平行于x轴，所以D关于BC的对称点在y轴上，为（0，-1）； （3）作DF垂直BC于F，直线BP交y轴于E，则三角形BDF与三角形BEO相似，计算可得DF、BF，它们之比为3:5，故OE：OB=3：5，得到OE=12/5，可得BP解析式为y=-3x/5+12/5,与抛物线联立可解得P坐标为（-2/5,66/25)

第二题可以这样： ∵点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上， ∴把D的坐标代入（1）中的解析式得 ： m+1=-m2+3m+4， ∴m=3或m=-1， ∴m=3， ∴D（3，4）， ∵y=-x2+3x+4=0，x=-1或x=4， ∴B（4，0）， ∴OB=OC， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∴∠CBA=45° 设点D关于直线BC的对称点为点E ∵C（0，4） ∴CD∥AB，且CD=3 ∴∠ECB=∠DCB=45° ∴E点在y轴上，且CE=CD=3 ∴OE=1 ∴E（0，1） 即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）；

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