若f(x)满足f(xy)= f(x) + f(y)，据此能否推出f(x/y)= f(x) — f(y)？

答案:4 悬赏:20 手机版

解决时间 2021-02-14 08:39

提问者网友：辞取
2021-02-13 22:11

最佳答案

五星知识达人网友：梦中风几里
2021-02-13 22:43

如果f(xy)=f(x)+f(y)只对特殊的x,y成立则不能；如果对任意x,y都成立则可以，证明如下：

令x=y=1，得f(1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0；
令x=1/y，得f(1/y)+f(y)=f((1/y)*y)=f(1)=0，所以f(1/y)=-f(y)；
从而f(x/y)=f(x*(1/y))=f(x)+f(1/y)=f(x)-f(y)

To unusduotres:
Hemel的结果是：
1. 满足f(xy)=f(x)+f(y)的函数不一定连续，所以不一定是对数函数（Cauchy证明了连续解一定是对数函数）；
2. 满足f(xy)=f(x)+f(y)的函数如果在某一点不连续则一定“完全不连续”；
3. 用选择公理实际构造了一个满足f(xy)=f(x)+f(y)但不连续的函数。
但即使解不连续（不是对数函数），f(x/y)=f(x)-f(y) 还是满足的，上面就是证明过程，并没有用到f连续的条件

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1楼网友：拾荒鲤
2021-02-14 01:13

解：由f(1×1)=f(1) + f(1)→f(1)=0； f(1)=f(x/x)=f(x) + f(1/x)→f(1/x)= -f(x)

将f(1/x)= -f(x)代入f(y/x)=f(y) + f(1/x)→f(y/x)=f(y) - f(x)。

2楼网友：北方的南先生
2021-02-14 00:12

我试试，好像可能把。如果X，y>0,f(x)=logx,那么就行了

3楼网友：西风乍起
2021-02-13 23:41

即使f(xy)=f(x)+f(y)对任意x,y都成立，也不一定能得f(x)=log(x)，必须要加上f(x)是连续函数的假设。反例的一个类似可以见Hamel的文章Eine Basis aller Zahlen und die unstietigen Loesungen der Funktionalgleichung: f(x+y)=f(x)+f(y)，在Math. Ann.第60卷上。我并没有说f(x/y)= f(x)-f(y)不成立，只是说不一定是对数函数罢了。

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