数列,你会的~
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解决时间 2021-04-30 18:18
- 提问者网友：心如荒岛囚我终老
- 2021-04-30 11:21
数列,你会的~
最佳答案
- 五星知识达人网友：鸽屿
- 2021-04-30 11:57
1.先理解好“B-数列”的定义，明确证题大步骤
根据已知条件，寻找与n∈N*无关的常数M',
使 |X(n+1)-X(n)|+|X(n)-X(n-1)|+…+|X(2)-X(1)|≤M'
对任意的n∈N*,上不等式恒成立。
2.利用已知{Sn}是B-数列,由其对应的常数M,寻找相应的M'。
【证明过程】
设Sn是数列{Xn}的前n项和.且数列{Sn}是B-数列,
则存在常数M>0,对任意的n∈N*,恒有
|S(n+1)-S(n)|+|S(n)-S(n-1)|+…+|S(2)-S(1)|≤M,
即 |X(n+1)|+|X(n)|+|X(n-1)|+…+|X(2)|≤M
因为 |X(n+1)-X(n)| +|X(n)-X(n-1)| +…+|X(2)-X(1)|
≤(|X(n+1)|+|X(n)|) +(|X(n)|+|X(n-1)|) +…+(|X(2)|+|X(1)|)
=|X(n+1)| +[ |X(n)|+|X(n-1)|+…+|X(2)| ]*2 +|X(1)|
≤[ |X(n+1)| +|X(n)| +|X(n-1)|+…+|X(2)| +|X(1)| ]*2
≤2(M+|X(1)|)
2(M+|X(1)|)是确定的常数
从而 数列{Xn}是B-数列
根据已知条件，寻找与n∈N*无关的常数M',
使 |X(n+1)-X(n)|+|X(n)-X(n-1)|+…+|X(2)-X(1)|≤M'
对任意的n∈N*,上不等式恒成立。
2.利用已知{Sn}是B-数列,由其对应的常数M,寻找相应的M'。
【证明过程】
设Sn是数列{Xn}的前n项和.且数列{Sn}是B-数列,
则存在常数M>0,对任意的n∈N*,恒有
|S(n+1)-S(n)|+|S(n)-S(n-1)|+…+|S(2)-S(1)|≤M,
即 |X(n+1)|+|X(n)|+|X(n-1)|+…+|X(2)|≤M
因为 |X(n+1)-X(n)| +|X(n)-X(n-1)| +…+|X(2)-X(1)|
≤(|X(n+1)|+|X(n)|) +(|X(n)|+|X(n-1)|) +…+(|X(2)|+|X(1)|)
=|X(n+1)| +[ |X(n)|+|X(n-1)|+…+|X(2)| ]*2 +|X(1)|
≤[ |X(n+1)| +|X(n)| +|X(n-1)|+…+|X(2)| +|X(1)| ]*2
≤2(M+|X(1)|)
2(M+|X(1)|)是确定的常数
从而 数列{Xn}是B-数列
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