1x2x3x4...x2010 尾部几个零？
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解决时间 2021-01-24 05:59
- 提问者网友：杀生予夺
- 2021-01-23 16:26
1x2x3x4...x2010 尾部几个零？
最佳答案
- 五星知识达人网友：行路难
- 2021-01-23 16:53
有因数5的个数是：2010÷5=402
有因数25的个数是：2010÷25=80
有因数125的个数是：2010÷125=16
有因数625的个数是：2010÷625=3
所以一共有：402+80+16+3=501个
(超级废话解说：)
从1到10，连续10个整数相乘：
1×2×3×4×5×6×7×8×9×10。
连乘积的末尾有几个0？
答案是两个0。其中，从因数10得到1个0，从因数2和5相乘又得到1个0，共计两个。
刚好两个0？会不会再多几个呢？
如果不相信，可以把乘积计算出来，结果得到
原式=3628800。你看，乘积的末尾刚好两个0，想多1个也没有。
那么，如果扩大规模，拉长队伍呢？譬如说，从1乘到20：
1×2×3×4×…×19×20。这时乘积的末尾共有几个0呢？
现在答案变成4个0。其中，从因数10得到1个0，从20得到1个0，从5和2相乘得到1个0，从15和4相乘又得到1个0，共计4个0。
刚好4个0？会不会再多几个？
请放心，多不了。要想在乘积末尾得到一个0，就要有一个质因数5和一个质因数2配对相乘。在乘积的质因数里，2多、5少。有一个质因数5，乘积末尾才有一个0。从1乘到20，只有5、10、15、20里面各有一个质因数5，乘积末尾只可能有4个0，再也多不出来了。
把规模再扩大一点，从1乘到30：
1×2×3×4×…×29×30。现在乘积的末尾共有几个0？
很明显，至少有6个0。
你看，从1到30，这里面的5、10、15、20、25和30都是5的倍数。从它们每个数可以得到1个0；它们共有6个数，可以得到6个0。
刚好6个0？会不会再多一些呢？
能多不能多，全看质因数5的个数。25是5的平方，含有两个质因数5，这里多出1个5来。从1乘到30，虽然30个因数中只有6个是5的倍数，但是却含有7个质因数5。所以乘积的末尾共有7个0。
乘到30的会做了，无论多大范围的也就会做了。
例如，这次乘多一些，从1乘到2010：
1×2×3×4×…×2010。现在的乘积末尾共有多少个0？
答案是501个。
有因数25的个数是：2010÷25=80
有因数125的个数是：2010÷125=16
有因数625的个数是：2010÷625=3
所以一共有：402+80+16+3=501个
(超级废话解说：)
从1到10，连续10个整数相乘：
1×2×3×4×5×6×7×8×9×10。
连乘积的末尾有几个0？
答案是两个0。其中，从因数10得到1个0，从因数2和5相乘又得到1个0，共计两个。
刚好两个0？会不会再多几个呢？
如果不相信，可以把乘积计算出来，结果得到
原式=3628800。你看，乘积的末尾刚好两个0，想多1个也没有。
那么，如果扩大规模，拉长队伍呢？譬如说，从1乘到20：
1×2×3×4×…×19×20。这时乘积的末尾共有几个0呢？
现在答案变成4个0。其中，从因数10得到1个0，从20得到1个0，从5和2相乘得到1个0，从15和4相乘又得到1个0，共计4个0。
刚好4个0？会不会再多几个？
请放心，多不了。要想在乘积末尾得到一个0，就要有一个质因数5和一个质因数2配对相乘。在乘积的质因数里，2多、5少。有一个质因数5，乘积末尾才有一个0。从1乘到20，只有5、10、15、20里面各有一个质因数5，乘积末尾只可能有4个0，再也多不出来了。
把规模再扩大一点，从1乘到30：
1×2×3×4×…×29×30。现在乘积的末尾共有几个0？
很明显，至少有6个0。
你看，从1到30，这里面的5、10、15、20、25和30都是5的倍数。从它们每个数可以得到1个0；它们共有6个数，可以得到6个0。
刚好6个0？会不会再多一些呢？
能多不能多，全看质因数5的个数。25是5的平方，含有两个质因数5，这里多出1个5来。从1乘到30，虽然30个因数中只有6个是5的倍数，但是却含有7个质因数5。所以乘积的末尾共有7个0。
乘到30的会做了，无论多大范围的也就会做了。
例如，这次乘多一些，从1乘到2010：
1×2×3×4×…×2010。现在的乘积末尾共有多少个0？
答案是501个。
全部回答
- 1楼网友：几近狂妄
- 2021-01-23 18:31
1x2x3x4...x2010=2010!
尾部几个零取决于它(2010!)含有多少个质因素5
因为2010!分解质因素,显然2的个数多余5的个数,而每一个2和一个5相乘产生一个0.所以尾部几个零取决于它(2010!)含有多少个质因素5
而介乘包含的质因素个数=[n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]+....一直到0为止
具体证明难书写,你找本数论或者看guass函数应用,应该可以讲的到的.
显然402+80+16+3=501,所以为501个0
尾部几个零取决于它(2010!)含有多少个质因素5
因为2010!分解质因素,显然2的个数多余5的个数,而每一个2和一个5相乘产生一个0.所以尾部几个零取决于它(2010!)含有多少个质因素5
而介乘包含的质因素个数=[n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]+....一直到0为止
具体证明难书写,你找本数论或者看guass函数应用,应该可以讲的到的.
显然402+80+16+3=501,所以为501个0
- 2楼网友：低血压的长颈鹿
- 2021-01-23 17:10
因为5乘以2等于10，由于2因子数目远大于5因子的数目，所以1、2、3……2010中含有5因子的数目，就是尾部0的数目。
25有2个5因子，125有3个5因子，625有4个5因子
2010÷5=402，是一个5因子的数目
2010÷25=80 ，是2个5因子的数目
2010÷125=16，是3个5因子的数目
2010÷625=3，是4个5因子的数目
最后的尾部有402+80+16+3=501个0
因为计算1个5因子的数目时，已经包括了2~4个因子的数目，所以在计算2个5因子的数目时，只计算增加的数目。同理由于计算3个5因子时，由于前面已经计算了2次了，所以也只计算增加的数目。
25有2个5因子，125有3个5因子，625有4个5因子
2010÷5=402，是一个5因子的数目
2010÷25=80 ，是2个5因子的数目
2010÷125=16，是3个5因子的数目
2010÷625=3，是4个5因子的数目
最后的尾部有402+80+16+3=501个0
因为计算1个5因子的数目时，已经包括了2~4个因子的数目，所以在计算2个5因子的数目时，只计算增加的数目。同理由于计算3个5因子时，由于前面已经计算了2次了，所以也只计算增加的数目。
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