对n元方程组

对n元方程组

题：对n元方程组, 正确的说法有：
A ： 若AX=0只有零解，则AX=b有唯一解
B； AX=0有非零解的充要条件是|A|=0
C AX=b有唯一解的充要条件是r（A）=n
D: 若 AX=b有两个不同的解，则AX=0有无穷多解。
解：设方程组有n元(n个未知数)，有m个等式，
情况一：当m=n时，系数矩阵A为方阵。在此条件下讨论以下习题，答案是A,B,C,D
说明：
A) AX=0只有零解,说明|A|<>0, 从而此项正确。
B）正确。
C）方阵满秩，等价于行列式非0.
D) 若 AX=b有两个不同的解，设为x1和x2.
则A(x1-x2)*常数k=0，于是AX=0有无数个解。

情况二：mA） 此时无论如何， AX=b有多解。前提AX=0只有零解也不成立。故此选项错误。
B） 此时 |A| 无意义，并且AX=0 也有多解。
C） 类似选项 A, AX=b有多解。
D) 无论　前提如何，AX＝0有无穷解。故正确。

情况三：m>n，这个很少见。类似讨论。此时选项 D正确。
A） 此时，方程的个数多于未知元的个数，即使AX=0只有一个解，即r(A)=n, 还是可能出现两个互相矛盾的方程式，从而无解。于是A错。
同理 C错。
B) 此时|A|无意义。
D) 显然正确。理由见前述。

A,AX=0只有零解，就是系数矩阵的秩为n，AX=b有唯一解，就是其增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩等于n，现在 只知道AX=b的系数矩阵的秩为n，别的信息根本就不知道
B，含有n个未知量n个方程的奇次线性方程组有非零解的充要条件是：方程组的系数行列式等于零（我在书上看到的，我怎么看都觉得是对的啊 ，你自己理解吧）
C，AX=b有唯一解的充要条件就是其增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩等于n，其中n为未知量的个数
D，AX=b，解得情况只能是 有解，无解，有解的前提下 有唯一解或者 有无穷多个解，他现在说有两个不同的解，就只能是有无穷多个解的情况，要满足增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩小于n，AX=0有无穷多个解的充要条件是系数矩阵的秩小于n,从前面退后面的，是完全可以的 恰好跟第一个选项的相反

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