n的二次的前n项和

n的二次的前n项和

an
=n^2
=n(n+1) -n
=(1/3)[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)] + (1/2)[n(n+1) -(n-1)n]
Sn
=a1+a2+...+an
=(1/3)n(n+1)(n+2) + (1/2)n(n+1)
=(1/6)n(n+1)[ 2(n+2) -3]
=(1/6)n(n+1)(2n+1)

等于nx(n+1)x(2n+1)/6追问过程呢

解：1²+2²+3²+......+n²=n(n+1)(2n+1)/6
证明：当n=1时，左边=1，假设当n=k时，等式 1²+2²+3²+......+k²=k(k+1)(2k+1)/6 成立，则有：1²+2²+3²+......+k²+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²]/6=(k+1)[2k²+k+6(k+1)]/6=(k+1)(2k²+7k+6)/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]/6
也就是当n=k+1时等式也成立，由以上证明可知：当n为任意正整数时，等式都是成立的，这就证明了：1²+2²+3²+......+n²=n(n+1)(2n+1)/6 是真命题。

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