关于排列组合的证明题

注 ：C（x，y） x为下标，y为上标
证明：C(m，m)+2C（m+1,m）+3C(m+2,m)+4C(m+3,m)+...+nC(m+n-1,m)=[(m+1)n+1]/(m+2)*C(m+n,m+1)

对n用数学归纳法：
n=1时：左=C(m,m)=1
右=[(m+1)+1]/(m+2)*C(m+1,m+1)=1=左
假设原命题对n成立，对n+1：
C(m，m)+2C（m+1,m）+3C(m+2,m)+4C(m+3,m)+...+nC(m+n-1,m)+(n+1)C(m+n,m)
= [(m+1)n+1]/(m+2)*C(m+n,m+1)+ (n+1)C(m+n,m)
=[(mn+n+1)*(m+n)!]/[(m+2)*(m+1)!(n-1)!]+ [(m+n)!*(n+1)]/[(n)!*(m)!]
={(m+n)!/[(m+2)!*n!]}*[(mn+n+1)*n+(m+2)*(m+1)*(n+1)]
对 (mn+n+1)*n+(m+2)*(m+1)*(n+1)因式分解：
(mn+n+1)*n+(m+2)*(m+1)*(n+1)
= (mn+n+1)*n+m*(m+1)*(n+1)+2(m+1)*(n+1)
=(mn+n+1)*n+(m+1)*n+(m+1)+(m+1)*(n+1)+m*(m+1)*(n+1)
=(mn+n+m+1+1)*n+(m+1)*(1+n+1+m*(n+1))
=((m+1)*(n+1)+1)*n+(m+1)*((m+1)*(n+1)+1)
=((m+1)*(n+1)+1)*(m+n+1)
所以：
原式=((m+1)*(n+1)+1)*(m+n+1)* {(m+n)!/[(m+2)!*n!]}
=[((m+1)*(n+1)+1)*(m+n+1)!]/[(m+2)!*n!]
=((m+1)*(n+1)+1)/(m+2)*C(m+n+1,m+1)
根据数学归纳法，该组合恒等式成立。

要想证明原式，就是证明—— c(0,n)c(n,n)+c(1,n)c(n-1,n)+c(2,n)c(n-2,n)+...+c(n-1,n)c(1,n)+c(0,n)c(n,n)=c(n,2n) 现在构造一个数学问题： 有n个白球n个黑球放在一个盒子里，求取n个球出来的取法数。 把2n看成一个整体，则有c(n,2n)种，即等式右边。 把2n看成n白n黑，则有0白n黑，1白n-1黑，2白n-2黑，……n-2白2黑，n-1白1黑，n白0黑，就是：c(0,n)c(n,n)+c(1,n)c(n-1,n)+c(2,n)c(n-2,n)+...+c(n-1,n)c(1,n)+c(0,n)c(n,n)种，即等式左边。 二者相等，所以命题得证

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