若函数f(x)是以T为周期的连续函数,试证:(1)∫(a,a+T)f(x)dx=∫(0,T)f(x)dx=∫(-T/2,

若函数f(x)是以T为周期的连续函数,试证:(1)∫(a,a+T)f(x)dx=∫(0,T)f(x)dx=∫(-T/2,T/2） f(x)dx
(2)∫(0,T)f(x)dx=0,当f(x)为奇函数时.、
(a,a+T)中,a是下限,a+T是上限,后面同理,求详解

1,∫(0,T)f(x)dx=T/n(f(T/n)+f(2T/n).f(nT/n))当n趋向于无穷的的极限
∫(a,a+T)f(x)dx=T/n(f(a+T/n)+f(a+2T/n).f(a+nT/n))当n趋向于无穷的的极限
下面对第二个化简
因为周期是T所以f(a+kT/n)=f(kT/n)
所以T/n(f(a+T/n)+f(a+2T/n).f(a+nT/n))=T/n(f(T/n)+f(2T/n).f(nT/n))
所以)∫(a,a+T)f(x)dx=∫(0,T)f(x)dx,代入a=-T/2
可得∫(0,T)f(x)dx=∫(-T/2,T/2）f(x)dx
所以的证原命题
2,就是求∫(-T/2,T/2）f(x)dx根据区间可拆分性质
∫(-T/2,T)f(x)dx=
∫(0,T/2)f(x)dx+∫(-T/2,0)f(x)dx,分别用上面的式子展开
再利用奇函数f(x)=-f(-x)的性质
相加之后便可得到结果
希望有所帮助

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