【多边形的面积】正多边形的面积计算公式?

【多边形的面积】正多边形的面积计算公式?

【答案】 nsqrt(3)a^2/4
　　a是边长,n是边数
　　sqrt(3) 表示根号3 证明 设正n边形的面积为S,
　　则,S=(1/2)nR^2*sinα=nr^2tan（α/2)
　　式中,n--边数,R--三角形的外接圆的半径,r--三角形的内切圆的半径,α--一边所对的圆心角（以度计）
　　证明也很简单.
　　正n边形可分割成n割等腰三角形,按上述参数计数三角形的面积加起来就是正n边形的面积,当然有点技巧.
　　现证明如下.
　　(1) 设正n边形的边长为AB,O为三角形外接圆心(内切圆与之同心）,
　　连接OA、OB,得一三角形AOB,其面积为：S'AOB
　　则,S'△AOB=(1/2)*AB*Rcos(α/2)
　　且,AB/2=Rsin(α/2),即AB=2Rsin(α/2)
　　故,S'△AOB=(1/2)*2R^2sin(α/2)cos(α/2)
　　S'△AOB=(1/2)R^2sinα
　　正n边形的面积S=n*S△AOB
　　故,S=(1/2)nR^2sinα
　　（2）再证以内切圆半径r和圆心角α表示的正多边形的面积S
　　证：因r是圆O的外切正多边形的边心距,也是△AOB的AB上的高（r)
　　S''△AOB=(1/2)*AB*r
　　此时 ,AB/2=rtan(α/2),故AB=2rtan(α/2)
　　S''△AOB=(1/2)*2r^2tan(α/2)=r^2*tan(α/2)
　　故,正n边形的面积S=n*S''△AOB=nr^2*tan(α/2)

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