数学的最值问题

已知数学f（x）的定义域为﹛x|x≠k兀，k∈Z﹜，且对于定义域内的任何x、y，有f﹙x﹣y﹚＝[f﹙x﹚·f﹙y﹚﹢1]／[f﹙y﹚﹣f﹙x﹚] 成立，且f(a)=1(a为正常数），当0﹤x﹤2a时，f(x)﹥0. (1)判断f(x)的奇偶性 (2)求f(X)在[[2a,3a]上的最小值和最大值。 要步骤啊

1

记f(x)的定义域为D

因为f(y-x)=[f(y)f(x)+1]/[f(x)-f(y)]

所以f(x-y)=-f(y-x)

由于对任意的x，y∈D都有上式成立

所以函数f(x)是奇函数

2

f(2x)=f[x-(-x)]=[-f(x)²+1]/[-2f(x)]=[f(x)²-1]/2f(x)

故f(2a)=0

因为f(3a/2-a)=[f(3a/2)f(a)+1]/[f(a)-f(3a/2)]=f(a/2)>0且当0<x<2a时，f(x)>0

所以1=f(a)>f(3a/2)>0

f(3a)=f(3a/2+3a/2)<0

现考虑对任意的x1，x2；其中a<x1<x2<=3a/2，则知：0<x2-x1<=a

f(x1)-f(x2)=[f(x1)f(x2)+1]/[f(x2-x1)]>0

即f(x1)>f(x2)从而知道f在(a，3a/2]上是减函数

而f(2x)=f(x)/2-1/2f(x)

从而知道f(2x)也是减函数

故在区间(2a，3a]也是减函数

特别地，我们知道f(2a)=0，f(3a)<0

所以最大值对应f(2a)=0

最小值对应f(3a)=f[a-(-2a)]=-1

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