【内切圆半径公式】直角三角形的内切圆半径公式:r=(a+b-c)/2这个公式是怎样推导出来的?

【内切圆半径公式】直角三角形的内切圆半径公式:r=(a+b-c)/2这个公式是怎样推导出来的?

【答案】 设Rt△ABC中,∠C＝90度,BC＝a,AC＝b,AB＝c
　　结论是：内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
　　证明方法一般有两种：
　　方法一：
　　如图设内切圆圆心为O,三个切点为D、E、F,连接OD、OE
　　显然有OD⊥AC,OE⊥BC,OD＝OE
　　所以四边形CDOE是正方形
　　所以CD＝CE＝r
　　所以AD＝b－r,BE＝a－r,
　　因为AD＝AF,CE＝CF
　　所以AF＝b－r,CF＝a－r
　　因为AF＋CF＝AB＝r
　　所以b－r＋a－r＝r
　　内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
　　即内切圆直径L＝a＋b－c
　　方法二：
　　如图设内切圆圆心为O,三个切点为D、E、F,连接OD、OE、OF,OA、OB、OC
　　显然有OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB
　　所以S△ABC＝S△OAC＋S△OBC＋S△OAB
　　所以ab/2＝br/2＋ar/2＋cr/2
　　所以r＝ab/(a＋b＋c)
　　＝ab(a＋b－c)/(a＋b＋c)(a＋b－c)
　　＝ab(a＋b－c)/[(a＋b)^2－c^2]
　　因为a^2＋b^2＝c^2
　　所以内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
　　即内切圆直径L＝a＋b－c

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