怎么证明 无理数集和实数集 等势

怎么证明 无理数集和实数集 等势

证明实数集不可数有理数集可数就是了。
先证明实数不可数：
(错误证明：因为正半轴加也加不完负半轴减也减不完，这辈子你也干不完……或者是因为是无限的……
驳斥：这样只能证明实数是无限集不能证可数和不可数。可数指的是能与自然数集一一对应，而不可数集是指不能和自然数一一对应。)
正确证明：
假设实数是可数的，则(0，1)是可数的。
a0=0.010010001…
a1 = 0.0147574628...
a2 = 0.3793817237...
a3 = 0.2323232323...
a4 = 0.0004838211...
a5 = 0.9489129145...
.........

那么我就构造这么一个小数，小数点后第一位不等于a1的第一位，小数点后第二位不等于a2的第二位，总之小数点后第i位不等于ai的第i位。这个数属于实数区间[0,1]，但它显然不在数列上。所以上面的数列不可能包含所有实数。这是一个矛盾，说明[0，1]是不可数的。
所以实数集是不可数的。
再证明有理数是可数的，
∵有理数能写成m/n形式：
所以有理数可以这样排列
0 1 -1 1/2 -1/2 2 -2 1/3 -1/3 2/3 -2/3 3/2 -3/2 3 -3……
然后0→0，1→1，2→-1，3→1/2，4→-1/2……
这样，所有的有理数都能对应一个自然数，所以有理数是可数的。实数不可数，有理数可数，因此无理数也不可数，因此无理数集和实数集等势(不可数集减去可数集不改变势)。

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