高数的一题,微分方程,答案是y=(x/3)+(C/x^2).x^2dy+(2xy-x^2)dx=0

高数的一题,微分方程,答案是y=(x/3)+(C/x^2).x^2dy+(2xy-x^2)dx=0

x^2dy+(2xy-x^2)dx=0两边除以x^2 (2y/x-1)dx+dy=0 令y/x=v dy=xdv+vdx (v^2-1)dx+xdv+vdx=0 (3v-1)dx+xdv=0 dx/x=dv/(1-3v) 两边积分得到：ln|x|=-1/3ln|1-3v| ln|x|=-1/3ln|1-3y/x| x^(-2)=x-3y 所以 最后的结果是:y=(x/3)+(C/x^2) 此即为通解======以下答案可供参考======供参考答案1:变形为 dy/dx+2y/x-1=0可以发现它是齐次方程作换元，令u=y/x,得y=ux,dy/dx=xdu/dx+u代入原方程可得xdu/dx+3u-1=0化为可分离变量方程du/(1-3u)=dx/x由此可以得到。已经有人解出了，呵呵也可以用全微分方程的方法来求判断得知，它就是全微分方程用凑微分的办法，易知左边为 x^2dy+2xydx-x^2dx=0即：d(x^2y)-d(x^3/3)=0于是通解为：yx^2-x^3/3=C

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