数学难题 解答

记得我高中时候有道题挺有意思 考试的时候 我们全军覆莫了 A B 都是锐角 （sinA）^2 +（sinB）^2 =sin（A+B）求证 A+B=π/2

由倍角公式，得(1-cos2a)/2+(1-cos2b)/2=sin(a+b)
即1-（cos2a+cos2b)/2=sin(a+b)
由和差化积，得1-cos(a+b)cos(a-b)=sin(a+b)
即cos(a+b)cos(a-b）+sin(a+b)=1(*)
因为sin(a+b)<=1,故cos(a+b)cos(a-b）>=0,而cos(a-b）>0,故cos(a+b)>=0，
所以0＜a+b＜=90
sin(a+b)>=[sin(a+b)]^2,1=cos(a+b)cos(a-b）+sin(a+b)>=cos(a+b)cos(a-b）+[sin(a+b)]^2-1+1=cos(a+b)cos(a-b）-[cos(a+b)]^2+1,
即cos(a+b)cos(a-b）<=[cos(a+b)]^2,cos(a+b)[cos(a-b）-cos(a+b)]<=0,
显然0<|a-b|<a+b<90,故cos(a-b）=cos|a-b|>cos(a+b),所以cos(a+b)<=0。
因cos(a+b)>=0,故cos(a+b)=0，a+b=90

希望能解决你的问题，有什么不会的可以继续提问

方法1： 由倍角公式，得(1-cos2a)/2+(1-cos2b)/2=sin(a+b) 即1-（cos2a+cos2b)/2=sin(a+b) 由和差化积，得1-cos(a+b)cos(a-b)=sin(a+b) 即cos(a+b)cos(a-b）+sin(a+b)=1(*) 因为sin(a+b)<=1,故cos(a+b)cos(a-b）>=0,而cos(a-b）>0,故cos(a+b)>=0， 所以0＜a+b＜=90 sin(a+b)>=[sin(a+b)]^2,1=cos(a+b)cos(a-b）+sin(a+b)>=cos(a+b)cos(a-b）+[sin(a+b)]^2-1+1=cos(a+b)cos(a-b）-[cos(a+b)]^2+1, 即cos(a+b)cos(a-b）<=[cos(a+b)]^2,cos(a+b)[cos(a-b）-cos(a+b)]<=0, 显然0<|a-b|<a+b<90,故cos(a-b）=cos|a-b|>cos(a+b),所以cos(a+b)<=0。 因cos(a+b)>=0,故cos(a+b)=0，a+b=90 方法2： sina^2+sinb^2=sin(a+b) sina(sina-cosb)+sinb(sinb-cosa)=0(*) 显然a+b=90成立（我们的习惯是考虑特殊的－－不是吗？） 当0＜a+b＜90 sina<sin(90-b)=cosb sinb<sin(90-a)=cosa sina-cosb<0 sinb-cosa<0 sina(sina-cosb)+sinb(sinb-cosa)<0 当90＜a+b＜180 90-a<b<90 cosa<sinb sina>cosb sina(sina-cosb)+sinb(sinb-cosa)>0 显然必有a+b=90

sin²A+sin²B=sinAcosB+cosAsinB,sinA=cos(π/2-A),sinB=cos(π/2-B),移项，得sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)=0;sinA(cos(π/2-A)-cosB)+sinB(cos(π/2-B)-cosA)=0,-2sinAsin((π/2-A+B)/2)sin((π/2-A-B)/2)-2sinBsin((π/2-B+A)/2)sin((π/2-A-B)/2)=0;-2sin((π/2-A-B)/2)[sinAsin((π/2-A+B)/2)+,sinBsin((π/2-B+A)/2)]=0;∵A B 都是锐角∴sinA,sin((π/2-A+B)/2),sinB,sin((π/2-B+A)/2)≠0;sinAsin((π/2-A+B)/2)+,sinBsin((π/2-B+A)/2)≠0;sin((π/2-A-B)/2)=0; (π/2-A-B)/2=0; A+B=π/2

qiang

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