已知函数f（x）=ax2ex（其中a≠0）．求f（x）的极大值．

已知函数f（x）=ax2ex（其中a≠0）．求f（x）的极大值．

解：f′（x）=axex（x+2），
（i）当a＞0时，
当f′（x）＞0时，得x＞0或x＜-2；
当f′（x）＜0时，得-2＜x＜0；
∴f（x）的单调递减区间为（-2，0）；
f（x）的单调递增区间为（-∞，-2）和（0，+∞）．（5分）
故当x=-2时，f（x）有极大值，其极大值为f（-2）=4ae-2．（6分）
（ii）当a＜0时，
当f′（x）＜0时，得x＞0或x＜-2；
当f′（x）＞0时，得-2＜x＜0；
∴f（x）的单调递增区间为（-2，0）；
f（x）的单调递减区间为（-∞，-2）和（0，+∞）．（5分）
故当x=0时，f（x）有极大值，其极大值为f（0）=0．（6分）解析分析：先求f′（x）=0的值，发现需要讨论a的正负，分别判定在f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极大值点与极小值点，求出极值．点评：本题综合考查了函数的导数的运用及二次函数在闭区间上的最值问题，体现了分类讨论的思想在解题中的应用．

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