初二一元二次方程题目

设m,n是一元二次方程ax的平方+bx+c=0的两个根，求代数式a(m的立方+n的立方)+b(m的平方+n的平方)+c(m+n)的值

设m,n是一元二次方程ax的平方+bx+c=0的两个根，求代数式a(m的立方+n的立方)+b(m的平方+n的平方)+c(m+n)的值

解：依题意得：am²+bm+c=0   

    an²+bn+c=0

     ∴am³+bm²+cm=0   

    an³+bn²+cn=0

相加得a（m³+ n³）+b（m²+n²）+c（m+n ）=0

解：根据求根公式：ｘ１＋ｘ２=－ｂ／ａ

　　　　　　　　　ｘ１＊Ｘ２＝ｃ／ａ

　可得ｍ＋ｎ＝－ｂ／ａ，ｍｎ＝　ｃ／ａ

所以　　a（m^3+n^3)+b(m^2+n^2)+c(m+n)

    ＝ a (m+n) (m^2-mn+n^2)+b [(m+n)^2-2mn]+c(m+n)

    ＝  a (m+n) [(m+n)^2-3mn]+　b [(m+n)^2-2mn]+c(m+n)

    ＝  a (－ｂ／ａ) [(－ｂ／ａ)^2-3 (ｃ／ａ) ]+b [(－ｂ／ａ)^2-2(ｃ／ａ) ]+c(－ｂ／ａ)

    ＝  -b (b^2-3ac)/a^2+b(b^2-2ac)/a^2-bc/a

    ＝  (-b^3+3abc+b^3-2abc-abc)/a^2

        ＝  0/a^2

    ＝  0

因为m,n是方程的两根，故有am2+bm+c=0,则m(am2+bm+c)=am3+bm2+cm=0

同理，an3+bn2+bn=0,则（am3+bm3+cm)+(an3+bn2+cn)=a(m3+n3)+b(m2+n2)+c(m+n)=0

用韦达定理解出m.n,然后分别代数解出得到答案。

将MN代入一元二次方程的

am²+bm+c=0..................1

an²+bn+c=0...................2

将第二个代数式化一下得

am³+an³+bm²+bn²+cm+cn=m(am²+bm+c)+n(an²+bn+c)=0

谢谢采纳

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