求椭圆所有互相垂直的两条切线交点的轨迹（满意追加分数）
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解决时间 2021-04-06 01:30
- 提问者网友：王者佥
- 2021-04-05 18:14
求椭圆所有互相垂直的两条切线交点的轨迹（满意追加分数）
最佳答案
- 五星知识达人网友：人间朝暮
- 2021-04-05 18:54
设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,
两切线交点为(X,Y),切线为
y-Y=k(x-X),
将其代入椭圆整理,得
(a^2k^2+b^2)x^2+2a^2k(Y-kX)x+a^2[(Y-kX)^2-b^2]=0.
两者相切,故
△=4a^4k^2(Y-kX)^2-4(a^2k^2+b^2)a^2[(Y-kX)^2-b^2]=0
整理,得
(a^2-X^2)k^2+2XYk+(b^2-Y^2)=0
两切线垂直即k1*k2=-1,
故依韦达定理,得
(b^2-Y^2)/(a^2-X^2)=-1
即所求轨迹方程为
X^2+Y^2=a^2+b^2
两切线交点为(X,Y),切线为
y-Y=k(x-X),
将其代入椭圆整理,得
(a^2k^2+b^2)x^2+2a^2k(Y-kX)x+a^2[(Y-kX)^2-b^2]=0.
两者相切,故
△=4a^4k^2(Y-kX)^2-4(a^2k^2+b^2)a^2[(Y-kX)^2-b^2]=0
整理,得
(a^2-X^2)k^2+2XYk+(b^2-Y^2)=0
两切线垂直即k1*k2=-1,
故依韦达定理,得
(b^2-Y^2)/(a^2-X^2)=-1
即所求轨迹方程为
X^2+Y^2=a^2+b^2
全部回答
- 1楼网友：低音帝王
- 2021-04-05 19:54
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