高中数学问题 高手进

在三角形ABC中 若A+B=120度 则求证a/b+c加b/a+c=1

C=60度
余弦定理
cosC=1/2=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
a^2+b^2-c^2=ab
a^2+ac+b^2+bc=ab+bc+ac+c^2
a(a+c)+b(b+c)=(b+c)(a+c)
两边同除以(b+c)(a+c)

a/(b+c)+b/(a+c)=1

a/b+c+b/a+c=1

a/b+b/a+2c=1

(a^2+b^2)/ab+2c=1

根据余弦定理，a^2+b^2-2abcosc=c^2,所以

原式为(c^2+2abcosc)/ab+2c=1

因为C=180-A-B=60

原式为(c^2+ab)/ab+2c=1

又原式为c^2/ab+1+2c=1

所以c^2/ab+2c=0

因为才C>0,a>0,b>0

所以无解

c=60度，又a²+b²-c²=2abcosC所以a²+b²=c²+ab

a/(b+c)+b/(a+c)=(a²+b²+ac+bc)/(c²+ab+ac+bc)=(c²+ab+ac+bc)/(c²+ab+ac+bc)=1

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