三角形ABC中,中线AD=1,<C=60.三角形的最大面积值是?

三角形ABC中,中线AD=1,<C=60.三角形的最大面积值是?

设 <ADC =x 显然 0<x<120度

设AH垂直Bc

则AH=sinx

DH=cosx CH=sinx/tan60=根号3/3sinx
故BC=2（DH+CH）=2(cosx+根号3/3sinx)

故S=sinx(cosx+根号3/3sinx)

=0.5（sin2x-根号3/3cos2x）+根号3/6

=根号3/3sin(2x+#)+根号3/6

由两弦归一公式 # 在 (-pi/2,0) 此时 必存在x 使得 2x+#=pi/2

故 最大值为 根号3/2

设bc=2x,ac=y,则cd=x 在△acd中，根据余弦定理有：x^2+y^2-2xycos60=1 即：x^2+y^2-xy=1 而x^2+y^2≥2xy 所以1=x^2+y^2-xy≥2xy-xy=xy 即xy≤1,当且仅当x=y时取等号 又s△abc=[(2x)*y*sin60]/2=(√3/2)xy 所以s△abc≤√3/2 当且仅当x=y=1时取等号，此时△abc为直角三角形

已知△ABC中,中线AD=1,∠C=60°,则 BC=2CD 设三角形面积=S,则 S=(AC*BC* sin60°)/2 在△ACD大中 ,由余弦定理，得 AD^2=AC^2+CD^2-2AC*CD*cosC 1=AC^2+CD^2-2AC*CD*cos60° 1=AC^2+CD^2-AC*CD AC^2+CD^2=1+AC*CD AC^2+CD^2≥2AC*CD 1+AC*CD≥2AC*CD AC*CD≤1 (AC*2CD*√3/2) /2≤√3/2 (AC*BC* sin60°)/2≤√3/2 S≤√3/2 △ABC的最大面积=√3/2

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