已知点A（-2，根号3），F是椭圆X2/16+Y2/12=1的右焦点，在椭圆上求一点M使|AM|+2|MF|取得最小值

已知点A（-2，根号3），F是椭圆X2/16+Y2/12=1的右焦点，在椭圆上求一点M使|AM|+2|MF|取得最小值

解：由椭圆可知a=4,b=2√3,c=2
所以e=1/2
过点M作椭圆右准线x=8的垂线，设垂足为N，
过点A作椭圆右准线x=8的垂线，设垂足为P，
则|MF|/|MN|= e=1/2
即2|MF|=|MN|
所以|AM|+2|MF|
=|AM|+|MN| ≥|AN|≥|AP|=10
（当且仅当动点M在线段AP上时取等号）
所以|AM|+2|MF|的最小值为10，
当|AM|+2|MF|取最小值时，点M的纵坐标为√3
代入椭圆方程可得x=2√3
即点M坐标为（2√3，√3）

设左焦点为ｆ１，连接ｆ１ａ并延长交椭圆于ｎ，此点即为所求的点。

｜ｎａ｜＋｜ｎｆ｜＝｜ｆ１ｎ｜－｜ｆ１ａ｜＋｜ｎｆ｜＝2a-|f1a|=8-1=7

设ｍ为椭圆上任意其他点，连接ｆ１ｍ。

三角形ａｍｆ１中

｜ｍａ｜＞｜f1m｜－｜ｆ１ａ｜

｜ｍａ｜＋｜ｍｆ｜>｜ｆ1ｍ｜－｜ｆ１ａ｜+|mf|=2a-1=7

故ｎ点为所求。

ｎ点横坐标与ａ相同为－２，代入椭圆方程得：y=√３或－３（去掉）

当最小时，ｍ的坐标为（－２，√３)

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