f(x+y)=f(x)+f(y) f(1)=c 证明f(x)=cx 有奖

f(x+y)=f(x)+f(y) f(1)=c 证明f(x)=cx 有奖

典型的柯西方法解函数方程.

一般方法是先在整数集上解这个函数方程,再推广至有理数,最后用极限,两边夹之类的方法证明在无理数集上,该
解也成立.即完成证明.

详细过程:(只对自变量大于零证明,小于零可仿照)

容易得到f(nx)=nf(x)

令x=1可以得到f(n)=nf(1)=cn.

所以在整数集上该函数方程的解为f(x)=cx.

令x=b/a,n=a(a,b为互素整数).

可以得到f(b)=af(b/a)=cb

所以f(b/a)=c*b/a.即在有理数集上该解也成立.

最后是无理数(我默认这个函数是连续函数):

对无理数d,找两个和它足够接近的有理数e,g

显然f(x)单调递增.

e
由函数的连续性只能f(d)=cd.证毕.

人家已经回答的很好了
就是第一步有一点写错了
应该是f(x)=f(x-1+1)=f(x-1)+f(1)=f(x-1)+c
就选他吧

方法一:
f(x)=f(x-1+1)=f(x-1)+f(1)=f(x-1)+c
f(x)-f(x-1)=c
同理可得
f(x-1)-f(x-2)=c
...
f(2)-f(1)=c
f(1)=c
两边分别相加,得:
f(x)-f(x-1)+f(x-1)-f(x-2)+...+f(2)-f(1)+f(1)=c+...+c
f(x)=cx
方法二:
f(x+x)=f(x)+f(x)
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2f(1)
f(3)=f(1)+f(2)=f(1)+2f(1)=3f(1)
.......
f(x)=f(1)+f(x-1)=f(1)+(x-1)f(1)=xf(1)=xc
所以f(x)=cx

第一个人的证明有问题。。
他只是证明了对x是自然数成立，而没有对整个实数成立！
cchyk - 助理 三级
的证明人为加入了连续可导的条件，这显然不可以，因为题目没有给这些条件啊，要是有这些条件，这题就简单了。
这个题是不可能用高中的方法证明的，需要用到大学的极限和逼近的一些理论，大概思路是
：
1、先证明对整数有结论成立，
2、然后由于任何有理数均可以表示为p/q（p q是素数）的形式，证明结论对有理数成立.
3、根据有理数在实数域内是稠密的，也就是任何无理数可以利用一列有理数逼近，证明该结论对任何无理数也成立
这就证得了结论对所有实数均成立！
过程的话，现在写出来高中估计难看懂，你以后可以看看大学的数学分析教材，或者高等数学教材，均有详细证明！

f(x)=f(x-1+1)=f(x-1)+f(1)=c
f(x)-f(x-1)=c
f(x-1)-f(x-2)=c
...
f(2)-f(1)=c
f(1)=c
两边分别相加,得:
f(x)-f(x-1)+f(x-1)-f(x-2)+...+f(2)-f(1)+f(1)=c+...+c
f(x)=cx
------------------
没办法,我是初中的,只会叠代

证：因为f(x+y)=f(x)+f(y)
而：f(x)=f(x-1+1)
由已知，得：f(x-1+1)=f(x-1)+f(1)=f(x-1)+c
同理可得：f(x-1)=f(x-2)+c，即：f(x)=f(x-2)+2c
……
最后得到：f(x)=f(1)+(x-1)c=cx
即：f(x)=cx
证毕。

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