几何 初二 等边

如图，若P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点。如图，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′，连接BB′。求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC。

B'太麻烦，用D来代替好了
在锐角三角形ABC外侧作等边三角形ACD连接BD，CD
因为是锐角三角形，即可在BD上选取一点P，使得角APB等于120度
则角APD等于60度，又角ACD等于60度
所以A,P,C,D四点共圆
所以角CPD等于角CAD等于60度
综上，角APC等于角BPC等于120度，可知P为费马点
下证BD=PA+PB+PC
延长PC并截取CE=AP,连接ED
因为内接的关系，易知角PAD+角PCD=180度，角PAD=角ECD
易证△PAD≌△ECD,又∵角DEP=角DPE=60度
∴PD=ED=PE=PC+CE=PC+PA
得证BD=PA+PB+PC

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