5的次方数+1或-1能不能变成2的次方数？

即是否存在不为0和1的正整数m，n使得5^m+1=2^n或者5^m-1=2^n

要详细的证明过程,万分感谢!

不好意思没有过程

 

之所以不存在

是因为5^m为偶数  偶数+1则为奇数   2^n为偶数  所以不存在

同样 5^m-1也为奇数 

使用反证法 首先可以验证n=2时5^m+1=2^n无整数解，而5^m-1=2^n只存在m=1的解（不满足条件） 因此假设存在题目要求的解，则n>2 我们可以把5^m+1=2^n变形（方程两边同除以2） (5^m+1)/2=2^(n-1) 接下来假设1)有满足题意的解 5^m=(4+1)^m=C(m,0)4^m+C(m,1)4^(m-1)+...+C(m,m-1)4+1 5^m+1=(4+1)^m=C(m,0)4^m+C(m,1)4^(m-1)+...+C(m,m-1)4+2 (5^m+1)/2=(C(m,0)4^m+C(m,1)4^(m-1)+...+C(m,m-1)4)/2+1 显然(C(m,0)4^m+C(m,1)4^(m-1)+...+C(m,m-1)4)/4依然是个整数，所以(C(m,0)4^m+C(m,1)4^(m-1)+...+C(m,m-1)4)/2是个偶数，所以(5^m+1)/2=(C(m,0)4^m+C(m,1)4^(m-1)+...+C(m,m-1)4)/2+1是个奇数，而2^(n-1)显然是个偶数（注意n>2的结论），所以出现矛盾，5^m+1=2^n没有满足条件的解 证明5^m-1=2^n比较复杂，除了要用反证法还要用到数学归纳法证明一个引理，太长了，懒得敲上来了...

证明：

  因为(x^n)'=nx^n-1

  所以(5^m+1)=(m+1)5^m

    (2^n)=n2^n-1

  设5^m+1=2^n

  依题意得：

    m不等于0或1，n不等于0或1

    (m+1)5^m=n2^n-1

    当m+1=2^n-1

    5^m=n

 所以m+1=2^{(5^m)-1}

 所以m=2^{(5^m)-1}-1

 所以m不存在

又因为a^x=N,log以a为底N为对数=x

 互换为

 log以5为底n为对数=m

 当log以5为底n为对数=2^{(5^m)-1}

 根据对数和指数图像可知（0<n<1,m>1)和（n>1,0<m<1)才有交点。

！！！！！！！！！

没有，若设5^m=a，m=㏒以5为底a的对数，那么n=㏒以2为底（a±1）的对数，如果能相等的话，（首先是a＞5，因为5^m=a，m＞1，即a±1＞4）那么在图中，n=㏒以2为底（a±1）的对数只是图中的一段。然后在求导数，算出斜率相等的地方，可以发现任然小于Y=X的值，而很显然从图上就可以看出在没有机会相交，说明了此题是没有机会相等的。。。。。。。。谢谢。。。。。

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