．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB，BC，AC为直径作半圆围成两月形（阴影部分）S₁，S­₂，设△ABC的面积为S．

求证：S=S₁+S₂．

设AC边上方的弓形面积S3，BC边上方的弓形面积S4

S1+S3=π×(AC/2)²，S2+S4=π×(BC/2)²

半圆的面积为=S3+S4+S=π×(AB/2)²

Rt△ABC，AB²=AC²+BC²

所以S3+S4+S=S1+S3+S2+S4，化简得S=S1+S2

1/2π*（AB/2)^2-S=1/2π*（AC/2)^2-S1+1/2π*（CB/2)^2-S2

所以S1+S2+1/8π*AB^2=S+1/8πBC^2+1/8π*AC^2

因为AB^2=CB^2+CA^2

所以S1+S2=S1+1/8*π（CB^2+CA^2-AB^2)=S

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