如图 任意一个抛物线 如图 一条直线AB过F点 CD垂直平分AB 直线AB过焦点F 求证AB=2FC

如图 任意一个抛物线 如图 一条直线AB过F点 CD垂直平分AB 直线AB过焦点F 求证AB=2FC

证：设抛物线方程为：y²=4mx，(m>0)，则焦点F(m,0)
当AB斜率不存在时，显然AB的垂直平分线为x轴，不合题意，舍去。
设AB的斜率为k，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB中点D（(x1+x2)/2，(y1+y2)/2）
因为AB过焦点F(m,0)，所以，AB：y=k(x-m)；
CD垂直AB，所以，CD的斜率为-1/k，则CD：y=-[x-(x1+x2)/2]/k+(y1+y2)/2；
C是CD与x轴的交点，令y=0，易得x=[(x1+x2)+k(y1+y2)]/2
即点C的坐标为（[(x1+x2)+k(y1+y2)]/2，0）
因为A，B在直线y=k(x-m)上，所以，y1=kx1-km，y2=kx2-km；
所以，y1+y2=k(x1+x2)-2km
所以：C的坐标为（(k²+1)(x1+x2)/2-mk²，0）
则|FC|=|(k²+1)(x1+x2)/2-mk²-m|
|AB|²=(x1-x2)²+(y1-y2)²
因为：y1=kx1-km，y2=kx2-km；所以：y1-y2=k(x1-x2)
所以：|AB|²=(k²+1)(x1-x2)²
A,B是直线y=k(x-m)与抛物线y²=4mx的交点，
把y=kx-km代入y²=4mx，得关于x的二次方程：k²x²-2m(k²+2)x+m²k²=0
由韦达定理：x1+x2=弧範岗既瞢焕哥唯工沥2m(k²+2)/k²，x1x2=m² 则：(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=16m²(k²+1)/k^4
所以：|FC|=|(k²+1)(x1+x2)/2-mk²-m|=2m(k²+1)/k²
则|FC|²=4m²(k²+1)²/k^4
|AB|²=(k²+1)(x1-x2)²=16m²(k²+1)²/k^4
所以：|AB|²=4|FC|²
所以：AB=2FC
这个证明过程不失一般性，即对任意抛物线均有该结论；
所以，题设得证。

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

如图图呢?

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