方程 1 x-1 =2sin(πx) 在区间[-2010，2012]所有根之和等于______

方程 1 x-1 =2sin(πx) 在区间[-2010，2012]所有根之和等于______．

设 f（x）=
1
x-1 ，g（x）=2sinπx，此题是求以上两个函数的交点的横坐标的和的问题．
显然，以上两个函数都关于点（1，0）成中心对称．
函数f（x）的值域为（-∞，0）∪（0，+∞），定义域为{x|x≠1}，
函数g（x） 的值域为[-2，2]，定义域为R，最小正周期为2．
在区间[0，2]上，两个函数无交点，应用介值定理，可以得到第一个交点x 0 ∈[2，
9
4 ]．
从x=2开始，在每个周期上，f（x） 和 g（x）都有两个交点，相对应的，在区间[-2010，0]上，
两个函数有和区间[2，2012]上相同多的交点．
在区间[2，2012]上，函数g（x） 共有1005个周期，因此和函数f（x）有2010个交点，
因此在区间[-2010，0]上也有2010个交点，
且对每一个交点，相对于（1，0）中心对称的点也是两个函数的交点．
而每对这样的交点之和为2，即若m是两个函数的一个交点的横坐标，则2-m也是两个函数的一个交点的横坐标，
因为一共有2010对这样的交点．
所以，在区间[-2010，2012]上，两个函数所有交点的横坐标的和为2010×2=4020．

设y1=1/(x-1) y2=2sin(πx) 此题是求以上两个函数的交点的横坐标的和的问题. 显然,以上两个函数都关于点(1,0)成中心对称. 函数y1的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域为x≠1 函数y2的值域为[-2,2],定义域为r,最小正周期为2 在区间[0,2]上,两个函数无交点. 应用介值定理,可以得到第一个交点x0∈[2,9/4] 从x=2开始,在每个周期上,y1和y2都有两个交点.相对应的,在区间[-2010,0]上,两个函数有和区间[2,2012]上相同多的交点. 在区间[2,2012]上,函数y2共有1015个周期,因此和函数y1有2010个交点,因此在区间[-2010,0]上也有2010个交点.且对每一个交点,相对于(1,0)中心对称的点也是两个函数的交点. 而每对这样的交点之和为2, 即若x'是两个函数的一个交点的横坐标,则2-x也是两个函数的一个交点的横坐标. 因为一共有2010对这样的交点. 所以,在区间[-2010,2012]上,两个函数所有交点的横坐标的和为2010×2=4020.

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