是否存在实数α使得函数y=sin^2x+αcosx+（5/8）α-（3/2）在闭区间[0，π/2]上的最大值是1？若存在，求出对应α的值

是否存在实数α使得函数y=sin^2x+αcosx+（5/8）α-（3/2）在闭区间[0，π/2]上的最大值是1？

方法一：
y=cos2x=sin(2x+π/2)=sin2(x+π/4)
设y=sin2(x+π/4)上的一点为（x1,y1）,则有y1=sin2(x1+π/4)
按向量A=(a,b)移动后得到的点为：(x2,y2),有：
x2=x1+a，y2=y1+b;于是x1=x2-a,y1=y2-b；
于是x2，y2满足关系：y2-b=sin2(x2-a+π/4)
所以移动后的函数图像为y=sin2(x-a+π/4)+b

对比函数y=sin(2x-π/6),即y=sin2(x-π/12),
得：当a=π/3，b=0时，移动后的图像正好是y=sin(2x-π/6)
所以要向右移π/3



方法二：

函数y=cos2x经过一个最高点：(0,1)
y=sin(2x-π/6)经过一个最高点：(π/3,1)
所以可以将y=cos2x向右移动π/3得到函数y=sin(2x-π/6)

是否存在实数α使得函数y=sin^2x+αcosx+（5/8）α-（3/2）在闭区间[0，π/2]上的最大值是1？若存在，求出对应α的值 是否存在实数α使得函数y=sin^2x+αcosx+（5/8）α-（3/2）在闭区间[0，π/2]上的最大值是1？ 原答案： 方法一： y=cos2x=sin(2x+π/2)=sin2(x+π/4) 设y=sin2(x+π/4)上的一点为（x1,y1）,则有y1=sin2(x1+π/4) 按向量A=(a,b)移动后得到的点为：(x2,y2),有： x2=x1+a，y2=y1+b;于是x1=x2-a,y1=y2-b； 于是x2，y2满足关系：y2-b=sin2(x2-a+π/4) 所以移动后的函数图像为y=sin2(x-a+π/4)+b 对比函数y=sin(2x-π/6),即y=sin2(x-π/12), 得：当a=π/3，b=0时，移动后的图像正好是y=sin(2x-π/6) 所以要向右移π/3 方法二： 函数y=cos2x经过一个最高点：(0,1) y=sin(2x-π/6)经过一个最高点：(π/3,1) 所以可以将y=cos2x向右移动π/3得到函数y=sin(2x-π/6)

y=sin²x+αcosx+（5/8）α-（3/2）=（1-cos²x）+αcosx+（5/8）α-（3/2）=-cos²x+αcosx+（5/8）α-1/2

令t=cosx，由于cosx在[0，π/2]上取值范围是[0,1],故t∈[0,1],y=-t²+at+（5/8）α-1/2=-（t-a/2）²+a²/4+5a/8-1/2

当t=a/2时，有最大值1，即a²/4+5a/8-1/2=1也即2a²+5a-12=0，其判别式为△=25-4*2（-12）＞0，所以方程存在实数解，a=4或a=-3/2

但当a=4时，cosx=t=a/2=2不属于[0,1]

a=-3/2时，cosx=t=a/2=-3/4[0,1]

所以不存在满足条件的a

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