求xy'-y-√(x^2+y^2)=0的通解，请写过程，方法越简单越好
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解决时间 2021-01-19 21:08
- 提问者网友：辞取
- 2021-01-19 12:05
求xy'-y-√(x^2+y^2)=0的通解，请写过程，方法越简单越好
最佳答案
- 五星知识达人网友：零点过十分
- 2021-01-19 13:25
dy/dx=y/x+√[1+(y/x)^2]
令u=y/x，则y=xu
dy/dx=u+xdu/dx
∴u+xdu/dx=u+√(1+u^2)
∴xdu/dx=√(1+u^2)
∴du/√(1+u^2)=dx/x
∴ln[u+√(1+u^2)]=lnx+C1
∴u+√(1+u^2)=Cx
【其中C=e^C1】
√(1+u^2)=Cx-u
∴1+u^2=(Cx)^2+u^2-2Cxu
∴1=(Cx)^2-2Cy
∴通解为
(Cx)^2=2Cy+1
令u=y/x，则y=xu
dy/dx=u+xdu/dx
∴u+xdu/dx=u+√(1+u^2)
∴xdu/dx=√(1+u^2)
∴du/√(1+u^2)=dx/x
∴ln[u+√(1+u^2)]=lnx+C1
∴u+√(1+u^2)=Cx
【其中C=e^C1】
√(1+u^2)=Cx-u
∴1+u^2=(Cx)^2+u^2-2Cxu
∴1=(Cx)^2-2Cy
∴通解为
(Cx)^2=2Cy+1
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