矩阵ab和矩阵ba有相同的特征值吗

矩阵ab和矩阵ba有相同的特征值吗

如果A,B都是方阵
则
AB与BA的特征值相同

只需证明：若λ是ab的特征值，则λ也是ba的特征值。分两种情况： (1)λ≠0。由λ是ab的特征值，存在非零向量x使得abx=λx。所以ba(bx)=b(abx)=b(λx)=λbx，且bx≠0（否则λx=abx=0，得λ=0，矛盾）。这说明bx是ba的对应于特征值λ的特征向量，特别地λ也是ba的特征值。 (2)λ=0。此时存在非零向量x使得abx=λx=0，所以ab不满秩，知det(ab)=0。从而det(ba)=det(ab)=0，ba不满秩，所以存在非零向量x使得bax=0=λx。这说明λ=0也是ba的特征值。 证毕。

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