已知函数f(x)=(x^2+2x+a)/x,若对任意x∈[1,+∞),f(x)＞a恒成立,试求实数a

已知函数f(x)=(x^2+2x+a)/x,若对任意x∈[1,+∞),f(x)＞a恒成立,试求实数a

不等式 f(x)>a 化为 (x^2+2x+a)/x>a ,由于 x>=1 ,因此 x^2+2x+a>ax ,即 x^2+(2-a)x+a>0 在 [1,+∞）上恒成立,令 g(x)=x^2+(2-a)x+a ,抛物线开口向上,对称轴 x=(a-2)/2 ,所以,（1）当 (a-2)/20 ,解得 a（2）当 (a-2)/2>=1 即 a>=4 时,g((a-2)/2)= -(a-2)^2/4+a>0 ,解得 4取并集得 a ======以下答案可供参考======供参考答案1:由函数f(x)=(x^2+2x+a)/x，对任意x∈[1,+∞),f(x）>a恒成立 即(x^2+2x+a)/x>a对任意x∈[1,+∞),f(x)＞a恒成立 即 x^2+2x+a>ax对任意x∈[1,+∞),f(x)＞a恒成立 1、当x=1时，a可以取任意实数 2、当a>1时，用分离参数法，即a 下面就是求g(x)=(x^2+2x)/(x-1)，x∈（1,+∞) 的最小值 令t=x-1,t>0.。g(t)=t+3/t+4>=4+2√3，当且仅当t=√3，即x=√3+1时取等号， 此时a 综合1、2、可知，a∈(-∞,√3+1)

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