已知椭圆离心离为√6/3 并经过点（3.1），求椭圆标准方程

已知椭圆离心离为√6/3 并经过点（3.1），求椭圆标准方程

离心率 e=c/a     e^2= 1-b^2/a^2 =(√ 6/3)^2 = 2/3  ,   得a^2=3b^2 

经过点（3.1),代入 X^2/3b^2 + y^2/b^2 =1 ,得  ,b^2=4   ,a^2=12

故椭圆标准方程   :     X^2/12+Y^2/ 4= 1

离心率c/a=√6/3,不防设a=3k,c=√6k,则b=√3k,k>0

当长轴在x轴上时,标准方程为x^2 /9k^2 + y^2 /3k^2 =1

两边同乘9k^2得x^2+3y^2=9k^2

把(3 , 1)代入得9+3*1=9k^2,得k^2=4/3,因而椭圆标准方程为x^2 /12 + y^2 /4=1

当长轴在y轴上时,标准方程为x^2 / 3k^2 + y^2 /9k^2 =1

两边同乘9k^2得3x^2+y^2=9k^2

把(3 , 1)代入得27+1=9k^2,得k^2=28/9,因而椭圆的标准方程为x^2 /(28/3) + y^2 /28=1

所以椭圆的标准方程为x^2 /12 + y^2 /4=1或x^2 /(28/3) + y^2 /28=1

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