已知复数z1,z2,z3在复数坐标系内对应的点分别为A,B,C.且(z2-z1)/(z3-z1)=1

已知复数z1,z2,z3在复数坐标系内对应的点分别为A,B,C.且(z2-z1)/(z3-z1)=1

证明：由A(z1),B(z2),C(z3).可知,向量AB=z2-z1,向量AC=z3-z1,向量BC=z3-z2.(一）(z2-z1)/(z3-z1)=1+(4/3)i.===>3(z2-z1)=(z3-z1)(3+4i).两边取模得:3|z2-z1|=5|z3-z1|.===>|z2-z1|:|z3-z1|=5:3.(二）∵z2-z1=(z2-z3)+(z3-z1).∴(z2-z1)/(z3-z1)=[(z2-z3)+(z3-z1)]/(z3-z1)=[(z2-z3)/(z3-z1)]+1=1+(4/3)i.===>(z2-z3)/(z3-z1)=(4/3)i.===>3(z2-z3)=4i(z3-z1).两边取模得3|z2-z3|=4|z3-z1|.===>|z3-z1|:|z2-z3|=3:4.∴结合前面可知:|z2-z1|:|z3-z1|:|z2-z3|=5:3:4.===>|AB|:|AC|:|CB|=5:3:4.∴⊿ABC是Rt⊿,∠C=90º.======以下答案可供参考======供参考答案1:设向量a1(u,v)对应Z1 = u+viABC按向量-a1平移，那么A点就移到坐标原点设此时B(x1,y1)，C(x2,y2)由题意可知x1+iy1=(x2+iy2)(1+4/3i)化简得x1=x2-4/3y2，y1=4/3x2+y2所以B可记为(x2-4/3y2,4/3x2+y2)向量BC=(4/3y2,-4/3x2)向量AC=(x2,y2)所以AC*BC=4/3x2*y2-4/3x2*y2=0所以ABC是直角三角形

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