三角形其面积与周长相等问题如边长5,12,13的三角形的面积与周长均为30，那么还存在其它的三角形其面积与周长也相等吗？若存在，是有限个还是无限个？（请证明）若不存在，为什么？如果规定三角形边长都是整

三角形其面积与周长相等问题如边长5,12,13的三角形的面积与周长均为30，那么还存在其它的三角形其面积与周长也相等吗？若存在，是有限个还是无限个？（请证明）若不存在，为什么？如果规定三角形边长都是整数，那么这样的直角三角形有几个？

运用海伦公式可以证明

这样的三角形不存在.证明:以边长为5的一条边作三角形的高,因为面积是30,所以高是12,作出高后得到两直角三角形,直角三角形的斜边和直角边都是12是不可能的,直角边都比斜边要短!以此反推这样的三角形根本不存在.这样的直角三角形有一个.即边长为6、8、10的三角形（用尝试法可得）。

直角三角形

这个直角三角形的三条边分别是：a,b,根号(a^2+b^2) 由题意可以知道，1/2ab=a+b+根号(a^2+b^2). 即：根号(a^2+b^2)=1/2ab-(a+b),将其两边平方得， a^2+b^2=1/4a^2b^2-ab(a+b)+a^2+b^2+2ab 1/4a^2b^2-ab(a+b)+2ab=0 ab(1/4ab-a-b+2)=0,因为ab≠0， 所以，1/4ab-a-b+2=0 ab-4a-4b+8=0 a(b-4)=4b-8 a=(4b-8)/(b-4)=(4b-16+8)/(b-4)=4+8/(b-4) 因为三角形的三边都是整数，而8有四个约数：1，2，4，8，所以，b的取值有四种情况。即：5，6，8，12。下面分别讨论： 1、b=5,a=12,此时，斜边是13，面积是1/2*5*12=30，周长是：5+12+13=30，符合要求。 2、b=6,a=8,斜边是10，面积与周长都是24。 3、b=8，a=6，这与上面2中的情况实质是一样的。 4、b=12,a=5,这与1中的情况又完全相同。 综上所述，符全要求的三角形有两种情况。 三边分别是： 5，12，13； 6，8，10。

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