若abc为三角形的三边,证明a2+bc,b2+ac,c2+ab为三角形三边

数学竞赛题

因为abc为三角形的三边，所以有
a+b＞c且a+c＞b且b+c＞a
要证明a²+bc,b²+ac,c²+ab为三角形三边相当于证明
1. （a²+bc）+（b²+ac,）-（c²+ab）＞0
2. （a²+bc）+（c²+ab）-（b²+ac）＞0
3. （b²+ac）+（c²+ab）-（a²+bc）＞0
上述1.2.3同时成立才行。
观察上述三个式子，看可以发现，只需要证明其中一个式子即可。
现在证明第一个，即
（a²+bc）+（b²+ac,）-（c²+ab）＞0
要证明上式成立
只需要2*（a²+bc）+2*（b²+ac,）-2*（c²+ab）＞0
即2*（a²+bc）+2*（b²+ac,）+2*（c²+ab）＞4c²+4ab
由于（a+b）²＞4ab
只需要（a+c）²+（b+c）²＞4c²
即a²+2ac+b²+2bc>2c²
显然a+b＞c，有2ac+2bc＞2c²
进而a²+2ac+b²+2bc>2c²
得证。
因此，
若abc为三角形的三边,证明a²+bc,b²+ac,c²+ab为三角形三边。


敲了这么多，累死了。。。

解：a²+bc-ac-b²=0

(a²-b²)-(ac-bc)=0

(a+b)(a-b)-c(a-b)=0

(a-b)(a+b-c)=0

所以a-b=0或a+b-c=0

即a=b  或  a+b=c(因为三角形任意两边之和大于第三边，所以不合题意，舍去)

所以这个三角形是等腰三角形。

个人观点，仅供参考。

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