判断狄利克雷函数是不是周期函数

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解决时间 2021-03-16 02:30

提问者网友：低吟詩仙的傷
2021-03-15 20:39

判断狄利克雷函数是不是周期函数

最佳答案

五星知识达人网友：野味小生
2021-03-15 21:52

周期函数定义：若存在T>0使得f(x+T)=f(x), 则f(x)为周期函数，不要求有最小周期。
按照定义验证对任意有理数T>0, 如果x是有理数则x+T也是有理数，所以f(x+T)=1=f(x).
如果x是无理数，则x+T也是有理数，所以f(x+T)=0=f(x).
所以狄利可雷函数以任意正有理数为周期，但没有最小周期。
谢谢，望采纳！

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1楼网友：轻雾山林
2021-03-15 22:05

狄利克雷函数d(x)={1,当x为有理数；0，当x为无理数。} 对任何正有理数t，x+t与x同为有理数或无理数，故，d（x+t）=d（x）所以，狄利克雷函数是一个以任何正有理数为周期的周期函数。（这个函数的周期性也告诉了我们这样一个事实：周期函数不一定具有最小正周期。因为没有最小的正有理数。）

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