解一元三次函数

解一元三次函数

一般的一元三次方程解的推导过程：
记号说明（1）i为虚数单位
（2）^表示乘方
（3）sqrt()表示开平方
设方程一般形式为（当然a不等于0）：a*x^3+b*x^2+c*x+d=0,（1）
左右都除以a,得：x^3+b*x^2/a+c*x/a+d/a=0
令x=y+k,代入上式整理得：y^3+(3k+b/a)y^2+(……)y+……+d/a=0,（2）
取3k+b/a=0,即k=-b/(3a)
则（2）式化为：y^3+(3a*c-b^2)/(3a^2)y+(2b^3-9a*b*c+27a^2*d)/(27a^3)=0
将其记作：y^3+py+q=0,(3)
若求出（3）式的三个根,再各加上-b/(3a)即得（1）的三个根.
令y=s+t代入（3）
得：（s^3+t^3+q）+(3s*t+p)(s+t)=0
只要s^3+t^3+q=0而且3s*t+p=0则 s+t 即为（3）的根.
所以有：s^3+t^3=-q 及s^3*t^3=-p^3/27
有韦达定理,知s^3和t^3是方程：z^2+qz-p^3/27=0的根,
所以：s^3=-p/2+sqrt(q^2/4+p^3/27),t^3==-p/2-sqrt(q^2/4+p^3/27)
此时,s和t各有三个值,设s的一个值为s1,则s的其余两值为w*s1,w^2*s1,其中w=-1/2+sqrt
(3)i/2,w^2=-1/2-sqrt(3)i/2.t同样有w*t1,w^2*t1
又因为：s^3*t^3=-p^3/27 所以s*t=-p/3
从而定出下列三组
(1):s=s1,t=t1
(2):s=w*s1,t=w^2*t1
(3):s=w^2*s1,t=w*t1
所以y1=s1+t1,y2=w*s1+w^2*t1,y3=w^2*s1+w*t1即为（3）的三个根.
至此就可以得（1）的解.
***注：一般所说三次方程有公式表示是针对如（3）那样的方程来说的.
如果判别式：q^2/4+p^3/27>0则sqrt(q^2/4+p^3/27)在实数范围内有意义,从而在实数范围
内（3）的根可表示为：
y=s+t=(-p/2+sqrt(q^2/4+p^3/27))^(1/3)+(-p/2-sqrt(q^2/4+p^3/27))^(1/3)
这即是一般所说的三次求根的公式.

一般能解的一元三次都是能因式分解的 如果不能的话就不好解了，也不会叫你解的。 至于他的画图不必那么精确。可以猜几个值，然后简单带入， 大概就行。 单调性可以用导数来啊 你学过导数没有？

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