设函数f(x)是定义在R上的增函数，令F（x）=f(x)-f(2-x).1.求证：F（x）是R上的增函数2.若F(X1)+F(X2)>0,求证：x1+x2>2

设函数f(x)是定义在R上的增函数，令F（x）=f(x)-f(2-x).1.求证：F（x）是R上的增函数2.若F(X1)+F(X2)>0,求证：x1+x2>2

1.证明：
设x1＜x2，且x1,x2∈R
所以
g(x2)-g(x1)
= f(x2) - f(2-x2) - f(x1)+ f(2-x1)
= f(x2) - f(x1) + f(2-x1)- f(2-x2)

因为x1＜x2 , 所以2-x1＞2-x2
又因为f(x)在定义域上是增函数
所以f(x2) - f(x1)＞0 ，f(2-x1)- f(2-x2)＞0
所以f(x2) - f(x1) + f(2-x1)- f(2-x2)＞0
即g(x2)-g(x1)＞0
所以g(x2)＞g(x1)
所以g(x)为R上的增函数

2.
g(x1)+g(x2)
= f(x1)+ f(x2)- f(2-x1)- f(2-x2)＞0
所以f(x1)- f(2-x1)＞0
f(x2)- f(2-x2)＞0
所以f(x1)＞f(2-x1) f(x2)＞f(2-x2)
因为f(x)为增函数
所以x1＞ 2-x1 x2＞ 2-x2
所以x1＞1 x2＞1
所以x1+x2 > 2

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