设α，β为函数h（x）=2x2-mx-2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f（x）=4x?mx2+1（1）求的f（α）?f（β）

设α，β为函数h（x）=2x2-mx-2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f（x）=
4x?m
x2+1
（1）求的f（α）?f（β）值；
（2）判断f（x）在区间[α，β]上的单调性并用函数单调性定义证明；
（3）是否存在实数m，使得函数f（x）在[α，β]的最大值与最小值之差最小？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

（1）由题意得







α+β＝
m
2
αβ＝?1 ，
故f(α)?f(β)＝
4α?m
α2+1 ×
4β?m
β2+1 ＝
16αβ?4m(α+β)+m2
(αβ)2+(α+β)2?2αβ+1 ＝?4．
（2）?x1，x2∈[α，β]，x1＜x2，可得
f(x1)?f(x2)＝
(x1?x2)[4x1x2?4?m(x1+x2)]
(x12+1)(x22+1) ，
因为（x1-α）（x2-β）≤0，（x1-β）（x2-α）＜0，两式相加得2x1x2-（α+β）（x1+x2）+2αβ＜0；
又因为α+β＝
m
2 ，αβ＝?1，∴（x2-x1）[4x1x2-4-m（x1+x2）]＜0．
所以f（x1）-f（x2）＜0，所以函数f（x）在[α，β]上为增函数．
（3）函数在[α，β]上为增函数，所以f(x)max?f(x)min＝f(α)?f(β)＝f(β)+
4
f(β) ≥4．
当且仅当f(β)＝
4
f(β) 时，等号成立，此时f（β）=2，即
4β?m
β2+1 ＝2，2β2?mβ?2＝0．
结合α+β＝
m
2 ，αβ＝?1可得m=0．
综上可得，存在实数m=0满足题意．

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