已知△ABC的三边长都是有理数．（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数

已知△ABC的三边长都是有理数．（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．

（1）证明：设三边长分别为a，b，c，cosA＝
b2+c2?a2
2bc ，
∵a，b，c是有理数，b2+c2-a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，
∴
b2+c2?a2
2bc 必为有理数，
∴cosA是有理数．
（2）①当n=1时，显然cosA是有理数；
当n=2时，∵cos2A=2cos2A-1，因为cosA是有理数，∴cos2A也是有理数；
②假设当n≥k（k≥2）时，结论成立，即coskA、cos（k-1）A均是有理数．
当n=k+1时，cos（k+1）A=coskAcosA-sinkAsinA，cos(k+1)A＝coskAcosA?
1
2 [cos(kA?A)?cos(kA+A)]，cos(k+1)A＝coskAcosA?
1
2 cos(k?1)A+
1
2 cos(k+1)A，
解得：cos（k+1）A=2coskAcosA-cos（k-1）A
∵cosA，coskA，cos（k-1）A均是有理数，∴2coskAcosA-cos（k-1）A是有理数，
∴cosA，coskA，cos（k-1）A均是有理数．
即当n=k+1时，结论成立．
综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数．

试一下归纳法吧 （1）n=1时,cosa为有理数（已知得) （2）假设n=k时,coska为有理数     coska=cos[1+(k-1)]a为有理数 n=k+1时,cos(k+1)a=cosacoska-sinasinka     cosacoska为有理数     sinasinka=sinasin【1+(k-1)】a =sina【sinacos(k-1)a+cosasin(k-1)a】 =cos(k-1)a(sina)^2+sinasin(k-1)acosa =(1-(cosa)^2)cos(k-1)a+sinasin(k-1)acosa =cos(k-1)a+cosa(sinasin(k-1)a-cosacos(k-1)a) =cos(k-1)a-(cosa)^2

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