两个三角形相似的判定

在平行四边形ABCD中，G﹑H﹑I为对角线BD上的四等分点，连接AG并延长交BC于E，连接EI并延长交AD于F，则AD：FD的值为 ( ) A 1：6 B1：8 C1：9 D2：17

解：连接IC，

因为四边形ABCD为平行四边形，

所以AD=BC，且AD∥BC，

所以∠ADG=∠CBI，

又因为G﹑H﹑I为对角线BD上的四等分点，

则BG=GH=HI=ID，

所以DG=BI，

所以△ADG≌△CBI（SAS），

所以AG=CI，且∠AGD=∠CIB，

所以AE∥CI，

所以BE/BC=BG/BI=1/3,

则BE=BC/3=AD/3,

又因为∠BIE=∠DIF，

所以△DIF∽△BIE，

所以FD/BE=DI/BI=1/3,

所以FD=BE/3,

又因为BE=BC/3=AD/3,

所以FD=AD/9,

即AD：FD=9：1。

解:因为∠ＡＰＢ＝１２０度，所以∠APQ+∠BPR＝60度;又因为三角形PQR是等边三角形,所以: ∠B+∠BPR＝60度, ∠A+∠APQ＝60度 故:∠B=∠APQ,∠A=∠BPR,则三角形APQ和三角形PBR相似. RB/PR=PQ/AQ PR*PQ=AQ*BR=36, 因为PR=PQ=QR, 所以 PR*PQ=QR^2=36 则:QR=6

由题可得：因为BE∥FD，可得△BEI∽△FDI，另I为BD的四等分点，则ID：BI=1：3

所以FD：BE=ID：BI=1：3，AD：FD=9：1

因为，BE//AD

所以，BE/AD = BG/DG = 1/3

    即，AD = 3BE

同时，FD/BE = DI/BI = 1/3

    即，BE = 3FD

显然。AD = 9FD

  即：AD ：FD = 9

C

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