韦达定理证明过程

韦达定理证明过程

到底什么是韦达定理？它揭示了根与系数的关系

ax²+bx+c=0 a≠0 如果有两个不同实数满足这个方程 设这俩数是m和n 那么am²+bm+c=0 an²+bn+c=0 两个式子相减 a(m+n)(m-n)+b(m-n)=0  消去m-n 得到a(m+n)+b=0 也就是m+n=-b/a 两个式子相加 a(m²+n²)+b(m+n)+2c=0 也就是a((m+n)²-2mn)+b(m+n)+2c=0 用刚才的结论 吧所有m+n都代换掉 得到-2amn+2c=0 所以mn=c/a 如果有两个相同的实数满足方程 设这个数是m 则方程肯定是a(x-m)²=0的形式 拆开是ax²-2amx+am²=0 这里b=-2am c=am² 所以显然上面的结论也成立

韦达定理的证明　　设x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解。　　有:a(x-x1)(x-x2)=0 　　所以　ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2=0　　通过对比系数可得：　　-a(x1+x2)=b ax1x2=c　　所以　x1+x2=-b/a x1x2=c/a 韦达定理推广的证明　　设x1，x2，……，xn是一元n次方程∑aix^i=0的n个解。　　则有：an(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0　　所以：an(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑aix^i　（在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理）　　通过系数对比可得：　　a（n-1）=-an(∑xi)　　a（n-2）=an(∑xixj)　　…　　a0=(-1)^n*an*πxi　　所以：∑xi=(-1)^1*a(n-1)/a(n)　　∑xixj=(-1)^2*a(n-2)/a(n)　　…　　πxi=(-1)^n*a(0)/a(n)　　其中∑是求和，π是求积。

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