在小数0.738231693450的小数部分添上表示循环节的两个点，使其变成循环小数，已知小数点后第100位上的数字是3，这个循环小数是怎样的?
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解决时间 2021-05-03 21:22
- 提问者网友：爱了却不能说
- 2021-05-03 12:40
在小数0.738231693450的小数部分添上表示循环节的两个点，使其变成循环小数，已知小数点后第100位上的数字是3，这个循环小数是怎样的?
最佳答案
- 五星知识达人网友：woshuo
- 2021-05-03 13:25
设循环节长度为X，X至少为4【3450】，至多为12【738231693450】
12 - X 得到的差就是混循环小数位数。
[100 - (12 - X)] ÷ X
= (88 + X)÷ X
= 1 + 88 ÷ X
要使100位上的数字是3，则：
(1)X∈[4，7]时
当X = 4时，88/X 余1，X = 5时 88/X 余2，X = 6时 88/X 余3，X = 7时 88/X 余4
也就是 88/X 余X - 3，即91/X 整除。
91=7×13，因此此时X = 7
(2)X∈[8，10]时
当X = 8时，88/X 余1或5，X = 9时 88/X 余2或6，X = 10时 88/X 余3或7
也就是 88/X 余X - 7或X - 3 ，即95/X 整除或91/X 整除。91上述已分析，不含[8，10]的因数。
95=5×19，也不含[8，10]的因数。
这种情况无解。
(3)X∈[11，12]时
当X = 11时，88/X 余1或4或8，X = 12时 88/X 余2或5或9
也就是 88/X 余X - 10或X - 7或 X - 3。余X - 7或 X - 3的上述已分析，范围内无解。
88/X 余X - 10，即98/X整除
98 = 2×7^2，不含[8，10]的因数。
综上，只有循环节长度为7，循环节是【1693450】时，小数后第100位上是3。
12 - X 得到的差就是混循环小数位数。
[100 - (12 - X)] ÷ X
= (88 + X)÷ X
= 1 + 88 ÷ X
要使100位上的数字是3，则：
(1)X∈[4，7]时
当X = 4时，88/X 余1，X = 5时 88/X 余2，X = 6时 88/X 余3，X = 7时 88/X 余4
也就是 88/X 余X - 3，即91/X 整除。
91=7×13，因此此时X = 7
(2)X∈[8，10]时
当X = 8时，88/X 余1或5，X = 9时 88/X 余2或6，X = 10时 88/X 余3或7
也就是 88/X 余X - 7或X - 3 ，即95/X 整除或91/X 整除。91上述已分析，不含[8，10]的因数。
95=5×19，也不含[8，10]的因数。
这种情况无解。
(3)X∈[11，12]时
当X = 11时，88/X 余1或4或8，X = 12时 88/X 余2或5或9
也就是 88/X 余X - 10或X - 7或 X - 3。余X - 7或 X - 3的上述已分析，范围内无解。
88/X 余X - 10，即98/X整除
98 = 2×7^2，不含[8，10]的因数。
综上，只有循环节长度为7，循环节是【1693450】时，小数后第100位上是3。
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