若正数x,y满足x+y=1,且不等式根号下x+根号下y≤a恒成立,求a的取值范围

若正数x,y满足x+y=1,且不等式根号下x+根号下y≤a恒成立,求a的取值范围

√x+√y≤a√(x+y)成立,显然a>0,两边平方
x+y+2√xy≤a^2(x+y)
(a^2-1)(x+y)≥2√xy恒成立
因为x+y≥2√xy成立
所以当且仅当a^2-1≥1时,(a^2-1)(x+y)≥x+y≥2√xy
由a^2-1≥1且a>0,得
a≥√2
a的取值范围是[√2,+∞)

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