四面体ABCD中，已知AB=CD=29，AC=BD=34，AD=BC=37，则四面体ABCD的外接球的表面积为（　　）A．25πB．45

四面体ABCD中，已知AB=CD=29，AC=BD=34，AD=BC=37，则四面体ABCD的外接球的表面积为（　　）A．25πB．45πC．50πD．100π

由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，
所以可在其每个面补上一个以



29 ，



34 ，



37 为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=29，x2+z2=34，y2+z2=37，
则有（2R）2=x2+y2+z2=50（R为球的半径），得R2=
25
2 ，
所以球的表面积为S=4πR2=50π．
故选：C．

将四面体a-bcd放置于长方体中，如图所示． ∵四面体a-bcd的顶点为长方体八个顶点中的四个， ∴长方体的外接球就是四面体a-bcd的外接球， ∵ac=bd=3，ad=bc=4，ab=cd=5， ∴长方体的对角线长为 1 2 (32+42+52) =5， 可得外接球的直径2r=5，所以r= 5 2 因此，外接球的表面积为s=4πr2=25π． 故选：b

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