同余的同余符号

同余的同余符号

两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m
记作 a≡b (mod m)
读作 a同余于b模m，或读作a与b对模m同余。
例如 26≡2 (mod 12)
【定义】设m是大于1的正整数，a、b是整数,如果m|(a-b)，则称a与b关于模m同余,记作a≡b(mod m),读作a与b对模m同余.
显然,有如下事实
(1)若a≡0(mod m),则m|a;
(2)a≡b(mod m)等价于a与b分别用m去除，余数相同。
【证明】
充分性: m|(a-b)——> a≡b(mod m)
设a=mq1+r1,b=mq2+r2
且0≤r1,r2∵ m|(a-b)
又a-b=m(q1-q2)+(r1-r2).
∴必有常数n使得(r1-r2)=mn
则有m|(r1-r2).
∵0≤r1,r2∴0≤|r1-r2|∴r1-r2=0
即r1=r2.
故a≡b(mod m).
必要性:a≡b(mod m)——>m|(a-b)
设a,b用m去除余数为r,
即a=mq1+r,b=mq2+r.
∵a-b=m(q1-q2)
∴m|(a-b).

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