已知数列{an}，Sn是其n前项的和，且满足3an=2Sn+n（n∈N*）（1）求证：数列{an+12}为等比数列；（2）记Tn

已知数列{an}，Sn是其n前项的和，且满足3an=2Sn+n（n∈N*）（1）求证：数列{an+12}为等比数列；（2）记Tn=S1+S2+L+Sn，求Tn的表达式；（3）记Cn=23（an+12），求数列{nCn}的前n项和Pn．

（1）∵3an=2Sn+n，
∴a1=1，
当n≥2时，3（an-an-1）=2an+1，即an=3an-1+1，
∴an+
1
2 =3an-1+1+
1
2 =3（an-1+
1
2 ），
∴数列{an+
1
2 }是首项为
3
2 ，公比为3的为等比数列；
（2）由（1）知，an+
1
2 =
3
2 ?3n-1，
∴an=
1
2 ×3n-
1
2 ，
∴Sn=a1+a2+…+an
=
1
2 ?
3(1?3n)
1?3 -
n
2
=
3
4 ?3n-
1
4 （2n+3），
∴Tn=S1+S2+…+Sn
=
3
4 （3+32+…+3n）-
1
4 ×
(5+2n+3)n
2
=
3
4 ?
3(1?3n)
1?3 -
n(n+4)
4
=
9
8 （3n-1）-
n(n+4)
4 ．
（3）∵Cn=
2
3 （an+
1
2 ）=
2
3 ×
1
2 ×3n=3n-1，
∴Pn=1×30+2×3+3×32+…+n?3n-1，
∴3Pn=1×3+2×32+…+（n-1）?3n-1+n?3n，
两式相减得：
-2

1. 证： sn=(3an-n)/2 sn-1=[3a(n-1)-(n-1)]/2 an=sn-sn-1=[3an-3a(n-1)-1]/2 an=3a(n-1)+1 an+1/2=3a(n-1)+3/2=3[a(n-1)+1/2] (an+1/2)/[a(n-1)+1/2]=3，为定值，因此 {an+1/2}为等比数列。 令n=1 3a1=2a1+1 a1=1 a1+1/2=3/2 tn=s1+s2+...+sn =(1/2)(2s1+2s2+...+2sn) =(1/2)(3a1-1+3a2-2+...+3an-n) =[-n(n+1)/4]+(3/2)(a1+a2+...+an) =[-n(n+1)/4]+(3/2)[a1+1/2+a2+1/2+...+an+1/2-n/2] =[-n(n+1)/4]-3n/4+(3/2)(3/2)(3^n-1)/2 =[9(3^n-1)-2n(n+4)]/8

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