为什么数学上的光滑曲线不仅处处连续可导，导数也要处处连续可导

为什么数学上的光滑曲线不仅处处连续可导，导数也要处处连续可导

首先要明确，“光滑”这个术语是有歧义的，在不同场合“光滑”代表的意思可能不同，最常用的是C^{\infty}和C^1，而你这里用的是C^2，甚至不属于最常用的两种方言。

C^2光滑性之所以重要，是由很多实际需求所驱动的。
实际上很多物体表面都是连续的，所以需要C^0光滑性。
如果需要描述没有“尖角”的物体，则需要导函数存在并具有一定连续性，这就需要C^1光滑性。如果仅仅是可导，导函数可以出现严重的振荡，给导函数附加连续性的要求可以改善这种情况。
C^2光滑性则更多地来自于光线反射，注意导数不仅刻画了切线，同时也刻画了法线，从光线反射定律知道法线决定了反射光的路径，所以法线是否很连续地变化是可以通过视觉直接观察到的，C^2光滑性用于描述光线的变化依然非常连续的情形，一般的样条曲线都是C^2光滑的。
更高阶的光滑性则一般用于理论分析，实际当中的需求已经不那么明显了。

你首先要明白什么是光滑曲线，函数不是人类思维的自由创作，而是自然界中客观存在的联系的主观反映。光滑是指一个连续变化的“内驱力”作用于一个可连续量化的事物从而引起另一个可连续量化的事物变化在图像上的反应。比如说变速运动，如果作用力是不变的或连续变化的，它的速度/实践图像就是光滑的

不一定。

若函数f(x)在区间(a,b)内具有一阶连续导数，则其图形为一条处处有切线的曲线，且切线随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为光滑曲线。 与光滑曲线相对应的就是折线， 考虑折线 y = x (x∈(-∞,0)) y = -x(x∈[0,∞)) 此折线，处处连续且可导，但在x=0这一点附近， x→0- 时，其导数为1 x→0+ 时，其导数为-1 其导数不连续

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