已知方程（x 2 -mx+2）（x 2 -nx+2）=0的四个根组成一个首项为 1 2 的等比数列，则|m-n|=____

已知方程（x 2 -mx+2）（x 2 -nx+2）=0的四个根组成一个首项为
1
2 的等比数列，则|m-n|=______．

∵方程（x 2 -mx+2）（x 2 -nx+2）=0?x 2 -mx+2=0 ①或x 2 -nx+2=0 ②
设方程①两根为x 1 ，x 4 ，方程②两根为x 2 ，x 3 ，则，x 1 x 4 =2，x 1 +x 4 =m  x 2 x 3 =2，x 2 +x 3 =n
∵方程（x 2 -mx+2）（x 2 -nx+2）=0的四个根组成一个首项为
1
2 的等比数列
∴x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 分别为这个数列的前四项，且x 1 =
1
2 ，x 4 =
2

1
2 =4，公比为2∴x 2 =1，x 3 =2
∴m=x 1 +x 4 =
1
2 +4=
9
2 ，n=x 2 +x 3 =1+2=3
故|m-n|=|
9
2 -3|=
3
2

a(n)=(1/2)q^(n-1), 由于x^2-mx+2=0的两个根的乘积为2, x^2-nx+2=0的两个根的乘积也为2. 这样,只有, 2=a(1)a(4)=a(2)a(3)=(1/2)^2q^3, q=2. a(1)+a(4)=m=(1/2)+(1/2)q^3=(1/2)[1+q^3], a(2)+a(3)=n=(1/2)q+(1/2)q^2=(1/2)q[1+q]. m/n = (1+q^3)/[q(1+q)]=9/[2*3]=3/2 或 a(1)+a(4)=n=(1/2)+(1/2)q^3=(1/2)[1+q^3], a(2)+a(3)=m=(1/2)q+(1/2)q^2=(1/2)q[1+q]. m/n = q(1+q)/(1+q^3)=(2*3)/9=2/3 综合,有 m/n = 3/2或2/3

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