初中几何数学题

1、如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．（1）求证：ΔBEF∽ΔCEG．（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？

1)∵AB//CD

∴∠G=∠BFE=90°

又∵∠BEF=∠CEG

∴ΔBEF∽ΔCEG

2）△BEF和△CEG的周长之是定值

∵AB=5 AM=4

∴BM=3

∴sinB=4/5 cosB=3/5

∴BF=BEcosB=3/5BE EF=BEsinB=4/5BE

∵∠ECG=∠B

同理CG=CEcosB=3/5CE EG=CEsinB=4/5CE

∴BE+BF+EF+CE+CG+EG=12/5BE+12/5CE=12/5(BE+CE)=12/5BC=24

3) FG=EF+EG=4/5BE+4/5CE=4/5BC=8

Y=S平行四边形ABCD-S△BEF-S△CED-S△ADF

=40-6/25X^2-4(10-X)/2-8(5-3/5X)/2

=-6/25X^2+22/5X

=-6/25(X-55/6)^2+121/6

当X=55/6时,Y有最大值121/6

(1) ∵AB∥CD

∴∠BFE=∠EGC=90°，∠B=∠ECG（内错角相等）

又∵∠BEF=∠GEC (对顶角相等)

∴ΔBEF∽ΔCEG

(2) 当点E在线段BC上由左向右（即由B点向C点）运动时，△BEF和△CEG的周长关系分别为，小于、等于、大于。理由：当E点在BC中间时，BE=EC，再加上ΔBEF∽ΔCEG，所以 ∴ΔBEF≌ΔCEG，周长相等。其他理由依次类推。

(3) △DEF以EF为底，则DG就是底边EF上的高（∠EGC=∠BFE=90°）

所以，2y=EF×DG=EF×(DC+CG)

∵sinB=AM/AB=4/5=0.8, cosB=BM/AB=3/5=0.6

∴EF=xsinB=0.8x

而ΔBEF∽ΔCEG

∴∠B=∠ECG

则CG=(10-x)cos∠ECG=(10-x)cosB=6-0.6x

∴2y=0.8x×(5+6-0.6x)=0.8x（11-0.6x）

∴y=4.4x-0.24x²

当x=-b/2a=4.4/0.48=55/6，y最大

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